Misconcept: "Het Drie Deuren Probleem"

Inleiding

Deze website heeft als doel om het bestaande misconcept over het 'drie deuren probleem' uit de wereld te helpen.

:: Het drie deuren probleem :: Het drie deuren probleem is een heel oud probleem dat in de geschiedenis gebruikt (misbruikt) is en vele toepassingen. Een voorbeeld hiervan is een spelshow. De finale van sommige spelshows, zoals van Willem Ruis, zag er als volgt uit: een kandidaat had alle tegenspelers weggespeeld en maakte kans op de hoofdprijs (bv een auto of een reis). Deze zat achter 1 van de 3 deuren verstopt. De kanditaat mocht kiezen uit deur A, B of C: Vervolgens maakte de alwetende assistent een lege deur open. Daarna had de kanidaat opnieuw een keuze: vasthouden aan de eerste keuze, of wisselen naar de andere nog dichte deur.

:: Het misconcept bij dit probleem :: Het misconcept bij dit probleem is eenvoudig. Velen denken namelijk dat er een 1:1 kansverdeling is en dat dus de kans op een prijs bij beide deuren 50% is. Dit is niet waar! De kans dat de kandidaat een prijs wint als hij/zij vasthoudt aan zijn/haar eerste keuze, is 1/3 (33%) en de kans op een prijs bij wisselen is 2/3 (67%).

:: Een bewijs van de realiteit:: Een wiskundig bewijs wordt in dit geval geleverd met een kansboom. Voordat we de kansboom doorlopen, spreken we eerst af dat de prijs achter een bepaalde deur zit. Dit mag A, B of C zijn, dat maakt niet uit. Voor alle drie gevallen kunnen we de kansboom doorlopen en levert dit hetzelfde resultaat. We spreken af dat de prijs achter deur C zit! Er zijn drie mogelijkheden: de kandidaat/finalist kiest deur A, B of C. Voor het gemak noemen de kandidaat Henk. Het spreekt voor zich dat Henk net zo goed Femke of Janneke had mogen heten. Veder hebben we te maken me een assistente. Laten we haar Marjolein noemen. Kandidaat Henk / | \ / | \ / | \ A B C - Als Henk deur A kiest, welke deur maakt de alwetende assistente Marjolein dan open? Dit is deur B. Marjolein weet immers dat de prijs achter deur C zit en zal die deur dus niet open maken. - Als Henk deur B kiest, welke deur maakt Marjolein dan open? Dit is deur A vanwege de zelfde reden. - Als Henk deur C kiest, welke deur maakt Marjolein dan open? Dit is deur A of deur B. Dat maakt niet uit. In alle drie gevallen heeft Henk twee keuzes: Vasthouden of Wisselen. We vullen dit in de kansboom in: Kandidaat Henk / | \ / | \ / | \ A B C / \ / \ / \ V W V W V W Er zijn nu zes verschillende mogelijkheden: 1. Henk kiest deur A, gaat vasthouden en blijft dus bij deur A. 2. Henk kiest deur A, gaat wisselen en wisselt dan naar C (omdat Marjolein deur B opent) 3. Henk kiest deur B, gaat vasthouden en blijft dus bij deur B. 4. Henk kiest deur B, gaat wisselen en wisselt dan naar C (omdat Marjolein deur A opent) 5. Henk kiest deur C, gaat vasthouden en blijft dus bij deur C. 6. Henk kiest deur C, gaat wisselen en wisselt dan naar A of B (dit hangt er vanaf welke deur Marjolein opent). De kansboom ziet er dan uiteindelijk zo uit: Kandidaat Henk / | \ / | \ / | \ A B C / \ / \ / \ V W V W V W | | | | | | A C B C C A/B In deze kansboom staat het wiskundige bewijs dat er een 2/3 kans is op de prijs bij wisselen en 1/3 kans op een prijs bij vasthouden. Dit haal je als volgt uit de kansboom: - Ga na wat er in de drie gevallen gebeurt als Henk gaat vasthouden en beredeneer of Henk dan een prijs heeft: 1. Als Henk deur A kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? NEE! 2. Als Henk deur B kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? NEE! 3. Als Henk deur C kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? JA! Ga nu na wat er in de drie gevallen gebeurt als Henk wisselt: 1. Als Henk deur A kies en wisselt, heeft hij dan prijs? JA! 2. Als Henk deur B kies en wisselt, heeft hij dan prijs? JA! 3. Als Henk deur C kies en wisselt, heeft hij dan prijs? NEE! Het bewijs is nu geleverd met de kansboom en beredeneerd in woorden. Samengevat komt het er dus op neer dat als Henk vasthoudt, dat hij dan bij de drie verschillende mogelijkheden slechts 1 keer een prijs heeft. Dat is dus 1/3 kans. Als Henk wisselt, heeft hij bij twee van de drie verschillende mogelijkheden een prijs. Dat is dus 2/3.

:: Overtuiging bij het bewijs:: Als je, net als vele wiskundigen vroeger, niet overtuigd bent door het bewijs (wat toch zeker een waterdicht wiskundig bewijs is), doen we hierbij nog twee pogingen om je te overtuigen. Poging 1: redenatie Stel dat je je voorneemt om te gaan vasthoden aan je eerste keuze. Wanneer heb je dan een prijs? Dat is als je meteen de goede deur gokt. Die kans is 1/3! Stel dat je je voorneemt om te gaan wisselen. Wanneer heb je dan een prijs? Dat is als je een verkeerde deur kiest. Die kans is 2/3! De assistente maakt dan immers een lege deur open, en als je dan gaat wisselen, kom je uit bij de deur met de prijs! Poging 2: (automatische) simulatie We hebben een simulatie gemaakt. Deze simulatie gaat steeds kiezen en daarna wiselen, je mag zelf bedenken hoe vaak, standaard is het 500. Je kunt zelf de snelheid van de simulatie instellen. Deze simulatie is zodanig geprogrammeerd dat deze een willekeurige deur kiest, er een niet lege deur wordt geopend, en er dan wordt gewisseld. Je kunt deze simulatie zo vaak uitvoeren als je wilt. De treefgetallen waar de simulatie heen zou moeten gaan, staan aangegeven. Dit zijn 33% en 67%. Je zult zien dat die streefgetallen niet altijd worden gehaald. Daarvoor is het ook een simulatie. Klik hier om de simulatie te beginnen. Poging 3: speel het spel zelf online (met een simulatie) Klik hier om he spel zelf te spelen en ervaar of je beter kunt wisselen of vasthouden. Poging 4: vier deuren, vijf deuren, tien deuren... Bij het drie deuren probleem is het beeld allemaal erg vertekend. Bij vier deuren wordt het al duidelijker. De assisente, die een hele belangrijke rol speelt, doet het volgende: 1. Zij zal nooit aan de deur komen van jouw keuze, die kans blijft dan ook altijd hetzelfde 2. Zij zal nooit aan de deur komen waar de prijs achter zit 3. Zij opent alle andere deuren en verplaatst daarmee de kans naar de enige overgebleven dichte deur. Ze verplaatst de kans echter niet naar de deur die jij hebt gekozen! Stel er zijn vier deuren. De kans dat je in 1 keer goed gokt is 1/4. Stel de prijs zit achter deur 4 en jij kies deur 1. De assistente zal nooit aan deur 1 komen. Zij kan de kansen achter de deuren verplaatsen. Aangezien zij al weet dat de prijs achter deur 4 zit, verplaatst zij de kans van deur 2 en 3 naar deur 4. Als de prijs niet achter deur 4 had gezeten, had ze de kansen wel verplaatst naar de deur waar de prijs wel zat! Ze verplaatst de kans in ieder geval niet naar deur 1, want daar blijft ze van af! Het zelfde geldt voor vijf of tien deuren. Bij tien deuren heb je 1/10 kans om de juiste deur te gokken. De assistente verplaatst de kansen van 8 deuren naar de deur met de prijs (tenzij je de juiste deur hebt gegokt). Vasthouden is in dit geval 1/10 en wisselen 9/10.!

Meer weten over het Drie Deuren Probleem?

Als je meer wilt weten over het Drie Deuren Probleem, kun je het beste even "drie deuren probleem" intikken op Google. Er zijn veel goede en minder goede links die meer informatie bieden. Enkele goede sites:

• Wikipedia
• Kennislink
• Handmatig simulatieprogramma
• Automatisch simulatieprogramma
• Grafische rekenmachine programma